Задачи по геометрии с решением и ответами

За­да­ние № 1. В параллелограмме точка середина стороны . Известно, что . Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

За­да­ние № 2. Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.

За­да­ние № 3. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BKC.

За­да­ние № 4. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС. Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.

За­да­ние № 5. Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD ? EF.

За­да­ние № 6. Точка F — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ABF равна половине площади трапеции.

За­да­ние № 7. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны. Оказалось, что отрезки AЕ и CD тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

За­да­ние № 8. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС . Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.

За­да­ние № 9. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED . Докажие, что данный параллелограмм — прямоугольник.

За­да­ние № 10. Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки и равны.

За­да­ние № 11. Дана равнобедренная трапеция . Точка лежит на основании и равноудалена от концов друго­го основания. Докажите, что — середина основания .

За­да­ние № 12. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

За­да­ние № 13. В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, точка пересечения высот H и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60° .

За­да­ние № 14. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

За­да­ние № 15.На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны. Оказалось, что углы АEB и BDC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

За­да­ние № 16. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.

За­да­ние № 17. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOB.

За­да­ние № 18. В параллелограмме KLMN точка E — середина стороны KN. Известно, что EL = EM. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

За­да­ние № 19. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.

За­да­ние № 20. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.

Решение:

задание 1

Пусть точка середина стороны параллелограмма равноудалена от его вершин и . Тогда, треуголь­ник — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му . По­сколь­ку пря­мая па­рал­лель­на сто­ро­не , то и как на­крест ле­жа­щие. Таким об­ра­зом, по пер­во­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков .Зна­чит, . Их сумма равна 180°, т. к. это два угла па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ле­жа­щие к одной сто­ро­не. Сле­до­ва­тель­но, = 90°. По свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма углы и также пря­мые. Зна­чит, — пря­мо­уголь­ник.

Решение

Задание 2

Имеем:

До­ка­жем, что .

1) по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам:

а) — общая;

б) по свой­ству углов рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка;

в) по опре­де­ле­нию бис­сек­три­сы и ра­вен­ству углов при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка.

2) как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков.

Решение

Задание 3

Про­ведём вы­со­ту так, чтобы она про­хо­ди­ла через точку Углы и равны друг другу как вер­ти­каль­ные. Вспом­ним также, что диа­го­на­ли де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, сле­до­ва­тель­но, Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и , они пря­мо­уголь­ные, имеют рав­ные углы и рав­ные ги­по­те­ну­зы, сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит равны от­рез­ки и . Таким об­ра­зом,

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грамм равна а пло­щадь тре­уголь­ни­ка

Решение

Задание 4

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABE и CDF равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу (AB = CD как про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма; ?BAE = ?DCF как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AB и CD и се­ку­щей AC). Сле­до­ва­тель­но, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это пер­пен­ди­ку­ля­ры к одной пря­мой. Таким об­ра­зом, в четырёхуголь­ни­ке BFDE про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны, по­это­му BFDE — па­рал­ле­ло­грамм.

Решение

Задание 5

Точка E рав­но­уда­ле­на от C и D , по­это­му она лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку CD. То же можно ска­зать и о F. Зна­чит EF — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к CD, то есть CD ? EF.

Решение

Задание 6

Про­ведём от­ре­зок EF па­рал­лель­но ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции, точка E лежит на сто­ро­не AB. От­ре­зок EF — сред­няя линия тра­пе­ции ABCD, зна­чит, вы­со­ты тре­уголь­ни­ков EFA и BEF , про­ведённые к сто­ро­не EF , равны между собой и равны по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции h .

Решение

Задание 7

Углы и равны, по­это­му тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный, то есть

Углы и — развёрну­тые

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, то есть тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный.

Решение

Задание 8

— па­рал­ле­ло­грамм, по­это­му сто­ро­ны и равны. Углы и равны, как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых и и се­ку­щей Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они пря­мо­уголь­ные, их ги­по­те­ну­зы равны и угол равен углу сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и углу, зна­чит, равны от­рез­ки и и сле­до­ва­тель­но . Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны четырёхуголь­ни­ка равны и па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но этот четырёхуголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм.

Решение

Задание 9

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то есть Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и , в них равно равно и равно сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ни­ки равны по трём сто­ро­нам, а зна­чит,

Вспом­ним также, что про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма равны, сле­до­ва­тель­но:

Сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма 360°

Решение

Задание 10

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и .

В них и

60° .

Сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны по двум сто­ро­нам и углу между ними.

По­это­му как со­от­вет­ству­ю­щие сто­ро­ны рав­ных тре­уголь­ни­ков.

Решение

Задание 11

Тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный. По­это­му .

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции .

От­сю­да сле­ду­ет, что . Зна­чит, тре­уголь­ни­ки и равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Сле­до­ва­тель­но, .

Решение

Задание 12

Про­ве­дем от­ре­зок пер­пен­ди­ку­ляр­ный сто­ро­нам и про­хо­дя­щий через точку Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма Пло­щадь тре­уголь­ни­ка . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка По­лу­ча­ем, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков и равна:

Решение

Задание 15

Тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный, по при­зна­ку рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, .

Углы и — развёрну­тые, по­это­му:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, то есть тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный.

Решение

Задание 16

Углы CBD и BDA равны, как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. В тре­уголь­ни­ках и сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум парам по­доб­ных сто­рон и углу между ними.

Решение

Задание 17

Про­ведём вы­со­ту так, чтобы она про­хо­ди­ла через точку Углы и равны друг другу как вер­ти­каль­ные. Вспом­ним также, что диа­го­на­ли де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, сле­до­ва­тель­но, Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и , они пря­мо­уголь­ные, имеют рав­ные углы и рав­ные ги­по­те­ну­зы, сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит равны от­рез­ки и . Таким об­ра­зом,

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грамм равна а пло­щадь тре­уголь­ни­ка

Решение

Задание 18

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то есть Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и , в них равно равно и равно сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ни­ки равны по трём сто­ро­нам, а зна­чит,

Вспом­ним также, что про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма равны, сле­до­ва­тель­но:

Сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма 360°:

Все углы па­рал­ле­ло­грамм пря­мые, а сле­до­ва­тель­но, этот па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

Решение

Задание 19

По­сколь­ку угол ACB тупой, ос­но­ва­ния высот A1 и B1 будут ле­жать на про­дол­же­ни­ях сто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Диа­го­на­ли четырёхуголь­ни­ка AA1B1B пе­ре­се­ка­ют­ся, по­это­му он вы­пук­лый. По­сколь­ку ?AA1B = ?AB1B = 90°, около четырёхуголь­ни­ка AA1B1B можно опи­сать окруж­ность. Тогда углы ?AB1A1 и ?ABA1 равны как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу A1A. Ана­ло­гич­но, ?BA1B1 = ?BAB1. Зна­чит, ука­зан­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

Решение

Задание 20

Тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний, точки — се­ре­ди­ны сто­рон, сле­до­ва­тель­но:

Также углы , и равны между собой, по­сколь­ку тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки , и они имеют по паре рав­ных сто­рон, а также рав­ный угол между этими сто­ро­на­ми, сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, то есть тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний.